Ο Κωστής Ευσταθίου γεννήθηκε στη Λευκωσία στις 13 Ιουνίου 1961. Ομιλεί, πέρα από την ελληνική, την αγγλική και τη γαλλική γλώσσα. Σπούδασε νομικά στο Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Συνέχισε με μεταπτυχιακές σπουδές στο ευρωπαϊκό δίκαιο στο Ελεύθερο Πανεπιστήμιο των Βρυξελλών στο Βέλγιο και στο δίκαιο του ανταγωνισμού στο Πανεπιστήμιο του Μπρίστολ στο Ηνωμένο Βασίλειο. Επιπλέον, απέκτησε προδιδακτορικό δίπλωμα (D.E.A.) στο ευρωπαϊκό δίκαιο του ανταγωνισμού στο Ελεύθερο Πανεπιστήμιο των Βρυξελλών. Εργάζεται ως δικηγόρος από το 1990.
Στις Δημοτικές εκλογές του 2001 εκλέχθηκε Δήμαρχος Λατσιών.
Την περίοδο 2012-2015 ήταν δεύτερος αντιπρόεδρος του Κινήματος Σοσιαλδημοκρατών-ΕΔΕΚ, ενώ από τον Μάρτιο του 2015 έως τον Μάιο του 2017 ήταν αναπληρωτής πρόεδρος του κόμματος.
Στις βουλευτικές εκλογές του 2016 εκλέχθηκε βουλευτής στην Εκλογική Περιφέρεια Λευκωσίας με το Κίνημα Σοσιαλδημοκρατών-Ε.Δ.Ε.Κ. για την ΙΑ΄ Κοινοβουλευτική Περίοδο.
Ως βουλευτής, είναι μέλος της Κοινοβουλευτικής Επιτροπής Εξωτερικών και Ευρωπαϊκών Υποθέσεων, της Κοινοβουλευτικής Επιτροπής Εσωτερικών, της Κοινοβουλευτικής Επιτροπής Νομικών, της Κοινοβουλευτικής Επιτροπής Παιδείας και Πολιτισμού και της Ad Hoc Κοινοβουλευτικής Επιτροπής για τον Εκσυγχρονισμό του Κανονισμού της Βουλής. Επιπρόσθετα, είναι αναπληρωματικό μέλος της αντιπροσωπίας της Βουλής στην Κοινοβουλευτική Συνέλευση του Συμβουλίου της Ευρώπης και μέλος της αντιπροσωπίας της Βουλής στη Διάσκεψη των Επιτροπών Ευρωπαϊκών Υποθέσεων των Κοινοβουλίων των Χωρών Μελών της Ευρωπαϊκής Ένωσης.